『몬테카를로 시뮬레이션으로 배우는 확률통계 with 파이썬 기초 개념부터 확률 과정 기반 데이터 예측까지』 Chapter 2. 기초 수학

장철원, 『몬테카를로 시뮬레이션으로 배우는 확률통계 with 파이썬 기초 개념부터 확률 과정 기반 데이터 예측까지』, 비제이퍼블릭(2023), p15-42.

 

단조 함수 (monotone function)

• 단조 증가 함수: 주어진 구간에서 감소하는 구간이 없는 함수 $$x_1\le x_2, \;\;f(x_1)\le f(x_2)$$
• 단조 감소 함수: 주어진 구간에서 증가하는 구간이 없는 함수 $$x_1\le x_2, \;\;f(x_1)\ge f(x_2)$$

자연 상수 e (natural constant)

$$e= \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}{1\over {n!}} \thickapprox 2.718$$

무한급수 (infinite series)

• 무한 수열 \({\{a_n\}}\)의 각 항을 모두 더한 식
• \(\displaystyle\lim_{n→\infty}{\sum^n_{i=1}{a_i}} = \sum^{\infty}_{i=1}{a_i}=a_1\;+a_2\;+a_3\;+\;\cdots = S\)
• 성질
  • 무한급수 \(\sum^{\infty}{i=1}{a_i}\)이 수렴하면, \(\lim{n→\infty}{a_n}=0\)
  • \(\lim_{n→\infty}{a_n}\ne0\)이면, 무한급수 \(\sum^{\infty}_{i=1}{a_i}\)는 발산
• 무한 등비 급수 (infinite geometric series)
  • 무한급수 중 첫 째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\)인 무한 등비수열
  • \(\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}{ar^{i-1}} = a\;+\;ar+\;ar^2\;+\cdots\)
  • 수렴하려면 \(|r| < 1\)을 만족해야함
  • \(\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}{ar^{i-1}} = {a \over {1-r}}, \;\; |r| < 1\)

변화율

변화량 \(\varDelta\)은 일반적인 변화량을 의미

변화량이 0에 가까울 정도로 작다면 $d$라고 표현

편미분 (partial derivative)

다변수 함수에 대해 특정 변수를 제외하고 나머지 변수를 상수로 취급하는 것

그래디언트(gradient): 모든 변수에 대해 편미분을 구한 것

적분

함수 \(y=f(x)\)가 구간 \([a,b]\)에서 연속이고 함수 \(f(x)\)가 0보다 크거나 같을 때,

\(\varDelta x = \large{{b-a} \over n}\)

 

구간의 직사각형 넓이의 합이 \(S_n\)일 때,

\(S_n = f(x_1)\varDelta{x}\;+\;f(x_2)\varDelta{x}\;+\cdots\;+\;f(x_n)\varDelta{x}=\displaystyle\sum^n_{k=1}{f(x_k)\varDelta{x}}\)

\(S= \displaystyle\lim_{n→\infty}{S_n}=\lim_{n->\infty}\sum^n_{k=1}{f(x_k)\varDelta{x}}\)

 

정적분의 경우 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있음

\(\int^b_a{f(x)dx} = \displaystyle\lim_{n->\infty}\sum^n_{k=1}{f(x_k)\varDelta{x}}\)

 

부분 적분

• 2개의 함수가 곱의 형태로 존재하고 적분할 때 사용하는 함수

$$\int^b_a{f(x)g'(x)dx} = [f(x)g(x)]^b_a \;-\;\int^b_a{f'(x)g(x)dx}$$