Chapter 2. 기초 수학

장철원, 『몬테카를로 시뮬레이션으로 배우는 확률통계 with 파이썬 기초 개념부터 확률 과정 기반 데이터 예측까지』, 비제이퍼블릭(2023), p15-42.

단조 함수 (monotone function)

• 단조 증가 함수: 주어진 구간에서 감소하는 구간이 없는 함수 $$x_1\le x_2, \;\;f(x_1)\le f(x_2)$$
• 단조 감소 함수: 주어진 구간에서 증가하는 구간이 없는 함수 $$x_1\le x_2, \;\;f(x_1)\ge f(x_2)$$

자연 상수 e (natural constant)

$$e= \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}{1\over {n!}} \thickapprox 2.718$$

무한급수 (infinite series)

• 무한 수열 \({\{a_n\}}\)의 각 항을 모두 더한 식
• \(\displaystyle\lim_{n→\infty}{\sum^n_{i=1}{a_i}} = \sum^{\infty}_{i=1}{a_i}=a_1\;+a_2\;+a_3\;+\;\cdots = S\)
• 성질
  • 무한급수 \(\sum^{\infty}{i=1}{a_i}\)이 수렴하면, \(\lim{n→\infty}{a_n}=0\)
  • \(\lim_{n→\infty}{a_n}\ne0\)이면, 무한급수 \(\sum^{\infty}_{i=1}{a_i}\)는 발산
• 무한 등비 급수 (infinite geometric series)
  • 무한급수 중 첫 째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\)인 무한 등비수열
  • \(\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}{ar^{i-1}} = a\;+\;ar+\;ar^2\;+\cdots\)
  • 수렴하려면 \(|r| < 1\)을 만족해야함
  • \(\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}{ar^{i-1}} = {a \over {1-r}}, \;\; |r| < 1\)

변화율

변화량 \(\varDelta\)은 일반적인 변화량을 의미

변화량이 0에 가까울 정도로 작다면 $d$라고 표현

편미분 (partial derivative)

다변수 함수에 대해 특정 변수를 제외하고 나머지 변수를 상수로 취급하는 것

그래디언트(gradient): 모든 변수에 대해 편미분을 구한 것

적분

함수 \(y=f(x)\)가 구간 \([a,b]\)에서 연속이고 함수 \(f(x)\)가 0보다 크거나 같을 때,

\(\varDelta x = \large{{b-a} \over n}\)

 

구간의 직사각형 넓이의 합이 \(S_n\)일 때,

\(S_n = f(x_1)\varDelta{x}\;+\;f(x_2)\varDelta{x}\;+\cdots\;+\;f(x_n)\varDelta{x}=\displaystyle\sum^n_{k=1}{f(x_k)\varDelta{x}}\)

\(S= \displaystyle\lim_{n→\infty}{S_n}=\lim_{n->\infty}\sum^n_{k=1}{f(x_k)\varDelta{x}}\)

 

정적분의 경우 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있음

\(\int^b_a{f(x)dx} = \displaystyle\lim_{n->\infty}\sum^n_{k=1}{f(x_k)\varDelta{x}}\)

 

부분 적분

• 2개의 함수가 곱의 형태로 존재하고 적분할 때 사용하는 함수

$$\int^b_a{f(x)g'(x)dx} = [f(x)g(x)]^b_a \;-\;\int^b_a{f'(x)g(x)dx}$$